Guía de Cálculo II para Ingeniería:
El Manual de Alto Rendimiento
Cálculo II para ingeniería es la extensión del análisis univariable al espacio $\mathbb{R}^n$: estudia funciones de varias variables, su diferenciabilidad, la optimización con restricciones mediante multiplicadores de Lagrange, las integrales múltiples con cambio de coordenadas y los tres teoremas vectoriales —Green, Stokes y Gauss— que unifican la física del campo electromagnético y la mecánica de fluidos.
0. ¿Qué es Cálculo II y por qué decide tu carrera de ingeniería?
Cálculo II extiende el análisis de una variable a $\mathbb{R}^n$. Abarca límites y continuidad multivariable, derivadas parciales, optimización libre y condicionada (Lagrange), integrales dobles y triples con cambio de coordenadas y los teoremas de Green, Stokes y Gauss. Sin el análisis multivariable no hay Física II, Ecuaciones Diferenciales, Mecánica de Fluidos ni Electromagnetismo.
el análisis multivariable es el idioma matemático en el que se escriben la temperatura de un sólido $T(x,y,z)$, la presión de un fluido $p(x,y,z,t)$ o el campo eléctrico $\vec{E}(\mathbf{r})$. Mientras Cálculo I se limitaba a funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, el análisis multivariable opera en espacios de dimensión superior, donde la intuición unidimensional ya no basta y se necesitan herramientas algebraico-geométricas completamente nuevas.
Esta guía maestra de el análisis multivariable para ingeniería sigue el temario estándar de las universidades politécnicas hispanohablantes y está optimizada para examen final. Cada bloque incluye un TL;DR autónomo, tablas de decisión, fórmulas clave en MathJax, simuladores interactivos y código Python listo para ejecutar. El índice completo:
1. Topología Espacial, Límites Multivariable y Continuidad en $\mathbb{R}^n$
En Cálculo II, el primer reto es extender el concepto de límite a funciones de varias variables. A diferencia del caso unidimensional, en $\mathbb{R}^2$ existen infinitas trayectorias por las que aproximarse a un punto, lo que hace que la existencia del límite sea una condición mucho más exigente.
Un límite multivariable en esta asignatura existe si y solo si el valor coincide por todas las trayectorias posibles. Para demostrar no existencia, basta encontrar dos trayectorias con resultados distintos. Para confirmar existencia, usa coordenadas polares o el criterio épsilon-delta.
1.1 Entornos, puntos de acumulación y topología en $\mathbb{R}^2$
El punto de partida de la topología en $\mathbb{R}^2$ para ingenieros es el concepto de entorno abierto (bola abierta) de radio $\delta$ centrado en $(a,b)$:
$$B_\delta(a,b)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}<\delta\}$$
Un punto $P$ es interior a un conjunto $A\subset\mathbb{R}^2$ si existe algún entorno de $P$ completamente contenido en $A$. Es punto de frontera si todo entorno de $P$ contiene puntos de $A$ y de su complementario. Es punto de acumulación si todo entorno perforado de $P$ contiene al menos un punto de $A$ distinto de $P$.
Estas definiciones son el andamiaje sobre el que el cálculo multivariable construye la continuidad y la diferenciabilidad. Un conjunto es abierto si todos sus puntos son interiores; cerrado si contiene todos sus puntos de frontera; acotado si está contenido en alguna bola de radio finito; y compacto si es cerrado y acotado (Teorema de Heine-Borel en $\mathbb{R}^n$).
1.2 Estrategia para límites multivariable en Cálculo II
El módulo satélite de límites multivariable y continuidad desarrolla en profundidad los tres métodos fundamentales que todo estudiante de este módulo debe dominar:
$$\lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)=L\iff\forall\varepsilon>0,\;\exists\delta>0:\;0<\|(x,y)-(a,b)\|<\delta\Rightarrow|f(x,y)-L|<\varepsilon$$
| Método | Cuándo usarlo en Cálculo II | Resultado si falla | Nivel |
|---|---|---|---|
| Sustitución directa | Función continua en el punto (polinomios, composiciones) | Indeterminación → otro método | Básico |
| Dos trayectorias distintas | Sospechar no existencia; probar con $y=mx$ y $y=x^2$ | El límite NO existe | Medio |
| Coordenadas polares | Límite en el origen con simetría radial | Confirma L si no depende de $\theta$ | Medio |
| Límites reiterados | Verificación adicional (condición necesaria, no suficiente) | Si difieren → límite NO existe | Medio |
| Épsilon-delta formal | Demostración rigurosa de existencia en examen teórico | — | Avanzado |
Que los límites reiterados $\lim_{x\to0}[\lim_{y\to0}f]$ y $\lim_{y\to0}[\lim_{x\to0}f]$ coincidan no garantiza que el límite doble exista. Contraejemplo clásico de el temario: $f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}$. Ambos reiterados valen 0, pero por la trayectoria $y=x$ el límite vale $\frac{1}{2}$. El límite doble no existe.
La técnica de coordenadas polares es especialmente poderosa en el análisis multivariable cuando el límite se plantea en el origen. Bajo el cambio $x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta$, el límite $(x,y)\to(0,0)$ equivale a $r\to0^+$. Si la expresión resultante es independiente de $\theta$, el límite existe y vale ese valor. Si depende de $\theta$, el límite no existe.
1.3 Continuidad en Cálculo II
En Cálculo II, $f$ es continua en $(a,b)$ si se cumplen tres condiciones simultáneas: $f(a,b)$ existe, $\lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)$ existe, y ambos coinciden. La regla práctica más útil en el análisis multivariable es que las funciones elementales —polinomios, funciones racionales (fuera de los ceros del denominador), senos, cosenos, exponenciales y logaritmos— son continuas en todo su dominio. La composición de funciones continuas es continua.
2. Diferenciabilidad, Operadores Diferenciales y Optimización Condicionada en Cálculo II
El cálculo diferencial en Cálculo II va mucho más allá de las derivadas parciales. El concepto central es la diferenciabilidad: la existencia de una aproximación lineal (el plano tangente) que describe correctamente el comportamiento local de la función. A partir de la diferenciabilidad, Cálculo II desarrolla los operadores gradiente, rotacional y divergencia, y culmina con la optimización libre y condicionada.
En Cálculo II, la existencia de derivadas parciales no garantiza diferenciabilidad. El gradiente $\nabla f$ apunta en la dirección de máximo crecimiento y es perpendicular a las curvas de nivel. Los multiplicadores de Lagrange convierten la optimización con restricciones en un sistema algebraico: $\nabla f=\lambda\nabla g$.
2.1 Derivadas parciales y vector gradiente en Cálculo II
La derivada parcial $\frac{\partial f}{\partial x}$ mide la variación de $f$ cuando solo cambia $x$, tratando el resto de variables como constantes. En la guía satélite de derivadas parciales y el vector gradiente se desarrolla el significado geométrico de máxima pendiente y las aplicaciones a mapas de temperatura, potencial gravitatorio y densidad de energía.
$$\nabla f(x,y,z)=\frac{\partial f}{\partial x}\,\hat{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\,\hat{j}+\frac{\partial f}{\partial z}\,\hat{k}$$
Propiedades clave del gradiente en el temario: (1) $\nabla f(P)$ es perpendicular a la superficie de nivel $f=c$ que pasa por $P$; (2) $|\nabla f(P)|$ es la tasa de cambio máxima de $f$ en $P$; (3) el descenso del gradiente $-\nabla f$ señala la dirección de máximo decrecimiento, base del optimizador más usado en machine learning. El módulo de el análisis multivariable sobre derivadas parciales incluye el cálculo explícito para funciones implícitas y paramétricas.
2.2 Diferenciabilidad y plano tangente en Cálculo II
La condición de diferenciabilidad en el análisis multivariable es más exigente que la mera existencia de derivadas parciales. $f$ es diferenciable en $(a,b)$ si el error de la aproximación lineal es de orden superior a la distancia al punto:
$$z=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)$$
En el análisis multivariable, diferenciabilidad implica continuidad, pero no al revés. Una función puede tener todas sus derivadas parciales en un punto y aun así no ser diferenciable si el plano tangente no existe como aproximación coherente. El contraejemplo canónico es $f(x,y)=\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}$: tiene derivadas parciales en el origen pero no es diferenciable allí.
2.3 Regla de la cadena multivariable en Cálculo II
Si $z=f(x,y)$ y $x=x(t),\,y=y(t)$, la regla de la cadena multivariable establece:
En la versión matricial general —imprescindible en ingeniería multivariable— con $\mathbf{x}:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n$ y $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^p$: $D(f\circ\mathbf{x})=Df\cdot D\mathbf{x}$, donde $D$ denota la matriz jacobiana. Esta forma matricial es el fundamento de la retropropagación en redes neuronales.
2.4 Derivadas direccionales en Cálculo II
La derivada de $f$ en la dirección del vector unitario $\hat{u}=(u_1,u_2)$ mide la tasa de cambio de $f$ al desplazarse desde $(a,b)$ en la dirección $\hat{u}$. En el temario:
$$D_{\hat{u}}f(a,b)=\nabla f(a,b)\cdot\hat{u}=|\nabla f|\cos\theta$$
Máxima cuando $\hat{u}\parallel\nabla f$ (dirección de máximo ascenso); mínima en dirección opuesta; nula en las direcciones perpendiculares a $\nabla f$ (a lo largo de curvas de nivel).
Las derivadas direccionales tienen aplicación directa en ingeniería de materiales (gradiente de temperatura, flujo de calor), geotecnia (pendiente en dirección de máxima escorrentía) y visión por computador (detector de bordes de Sobel).
2.5 Matriz Hessiana y clasificación de puntos críticos en Cálculo II
$$H_f=\begin{pmatrix}f_{xx}&f_{xy}\\f_{yx}&f_{yy}\end{pmatrix},\qquad D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2=\det H_f$$
| Condición | Clasificación en Cálculo II |
|---|---|
| $D>0$ y $f_{xx}>0$ | Mínimo local relativo |
| $D>0$ y $f_{xx}<0$ | Máximo local relativo |
| $D<0$ | Punto de silla |
| $D=0$ | Criterio no concluyente: analizar directamente |
La condición $\nabla f=\mathbf{0}$ es necesaria pero no suficiente para un extremo. El origen de $f(x,y)=x^2-y^2$ satisface $f_x=2x=0,\;f_y=-2y=0$, pero es un punto de silla: máximo a lo largo de $x=0$, mínimo a lo largo de $y=0$. Siempre calcula $D$ antes de concluir.
2.6 Multiplicadores de Lagrange en Cálculo II
El problema de optimización condicionada consiste en maximizar o minimizar $f(x,y)$ sujeto a la restricción $g(x,y)=0$. El método de los multiplicadores de Lagrange transforma este problema en uno sin restricciones explícitas.
$$\nabla f(x,y)=\lambda\,\nabla g(x,y)\qquad\text{y}\qquad g(x,y)=0$$
En $\mathbb{R}^2$: sistema de 3 ecuaciones en 3 incógnitas $(x,y,\lambda)$.
Con dos restricciones: $\nabla f=\lambda_1\nabla g_1+\lambda_2\nabla g_2$.
La interpretación geométrica en el análisis multivariable es elegante: en el óptimo condicionado, las curvas de nivel de $f$ y $g$ son tangentes, es decir, sus gradientes son paralelos. El factor $\lambda$ mide cuánto aumentaría el óptimo si se relajase la restricción en una unidad (interpretación económica: precio sombra). La guía satélite de multiplicadores de Lagrange incluye problemas de ingeniería resueltos: mínimo de material en un depósito de volumen fijo, máxima rigidez con peso restringido y optimización de antenas con potencia limitada.
Cálculo II — Lagrange: en el punto óptimo $P^*$, las curvas de nivel de $f$ (azul discontinuo) y la restricción $g=0$ (verde) son tangentes. Sus gradientes son paralelos: $\nabla f = \lambda\nabla g$. El escalar $\lambda$ (multiplicador de Lagrange) determina la «intensidad» de la restricción.
3. Integrales Múltiples y Sistemas de Coordenadas Curvilíneas en Cálculo II
La integración múltiple en Cálculo II generaliza la integral de Riemann al plano y al espacio. Las integrales dobles calculan áreas y volúmenes; las triples, volúmenes, masas y momentos de inercia. El cambio de coordenadas —con su determinante jacobiano— es la herramienta que convierte integrales intratable en problemas simples.
La integral doble de Cálculo II se calcula como integral iterada (Fubini) cuando $f$ es continua. El cambio de variable al sistema de coordenadas más natural —polares, cilíndricas o esféricas— simplifica la integral multiplicando por el determinante Jacobiano $|J|$. Invertir el orden de integración puede simplificar drásticamente el cálculo.
3.1 Integrales dobles y Teorema de Fubini en Cálculo II
La integral doble sobre regiones generales extiende la suma de Riemann al plano: divide la región $D$ en rectángulos de área $\Delta A_{ij}$, suma $f(x_i,y_j)\Delta A_{ij}$ y toma el límite cuando los rectángulos se hacen infinitesimales. El resultado es el volumen bajo la superficie $z=f(x,y)$ sobre $D$.
Si $f$ es continua en $[a,b]\times[c,d]$:
$$\iint_D f(x,y)\,dA=\int_a^b\!\!\int_c^d f(x,y)\,dy\,dx=\int_c^d\!\!\int_a^b f(x,y)\,dx\,dy$$
Para regiones no rectangulares, los límites de la integral interior dependen de la variable exterior: $\int_a^b\!\int_{g_1(x)}^{g_2(x)}f(x,y)\,dy\,dx$.
Si la integral iterada en un orden da una primitiva imposible de calcular, dibuja la región $D$ en el plano $xy$ e invierte el orden. Un tercio de los problemas de el análisis multivariable de integrales dobles solo son resolubles tras invertir el orden de integración.
3.2 Cambio de variable y determinante Jacobiano en Cálculo II
El cambio de variable en integrales múltiples transforma la región complicada $D$ en una región simple $D’$ mediante la función $T(u,v)=(x(u,v),y(u,v))$. El factor de escala que aparece al cambiar el elemento de área es el determinante de la matriz jacobiana.
$$\iint_D f(x,y)\,dA=\iint_{D’}f(x(u,v),y(u,v))\,|J|\,du\,dv$$
$$J=\det\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\begin{vmatrix}\dfrac{\partial x}{\partial u}&\dfrac{\partial x}{\partial v}\\[6pt]\dfrac{\partial y}{\partial u}&\dfrac{\partial y}{\partial v}\end{vmatrix}$$
La interpretación geométrica del Jacobiano es fundamental: $|J|$ mide cómo se escalan las áreas bajo el cambio de variable. Si $|J|=0$ en algún punto, el cambio es degenerado allí (la transformación aplasta el área). El Jacobiano también aparece en la derivada de funciones implícitas: $\frac{dy}{dx}=-\frac{\partial F/\partial x}{\partial F/\partial y}$.
3.3 Coordenadas polares, cilíndricas y esféricas en Cálculo II
Los tres sistemas de coordenadas curvilíneas fundamentales son las coordenadas polares (2D), cilíndricas (3D) y esféricas (3D). La guía satélite de coordenadas polares, cilíndricas y esféricas desarrolla cada uno con ejercicios resueltos de cálculo de volúmenes y centros de masa.
| Sistema | Relación cartesiana | Jacobiano $|J|$ | Úsalo en el análisis multivariable cuando… |
|---|---|---|---|
| Polares $(r,\theta)$ | $x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta$ | $r$ | Región circular, anular o sectorial en 2D |
| Cilíndricas $(r,\theta,z)$ | $x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta,\;z=z$ | $r$ | Sólidos con simetría axial: cilindros, conos, paraboloides |
| Esféricas $(\rho,\phi,\theta)$ | $x=\rho\sin\phi\cos\theta$ $y=\rho\sin\phi\sin\theta$ $z=\rho\cos\phi$ |
$\rho^2\sin\phi$ | Esferas, cascarones esféricos, integrales con $x^2+y^2+z^2$ |
La matriz $\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(\rho,\phi,\theta)}$ tiene determinante:
$$|J_\text{esf}|=\rho^2\sin\phi$$
Convención estándar en el temario: $\phi\in[0,\pi]$ (ángulo polar desde el eje $z^+$), $\theta\in[0,2\pi)$ (ángulo azimutal). Algunas referencias intercambian $\phi\leftrightarrow\theta$; verifica la convención de tu libro antes del examen de esta asignatura.
3.4 Integrales triples y cálculo de volúmenes en Cálculo II
Las integrales triples calculan volúmenes, masas (con densidad $\delta(x,y,z)$), centros de gravedad y momentos de inercia. En cilíndricas:
En esféricas, la integral triple de el análisis multivariable toma la forma:
(1) Dibuja el sólido o identifica su descripción. (2) Elige el sistema de coordenadas según la simetría del sólido. (3) Escribe los límites de integración desde el interior hacia afuera (la variable más interna tiene límites que dependen de las exteriores). (4) Multiplica por el Jacobiano correspondiente. (5) Evalúa de dentro hacia fuera.
4. Integrales de Línea, Superficie y los Grandes Teoremas de Cálculo II
El cálculo vectorial es la culminación de Cálculo II. Los tres grandes teoremas —Green, Stokes y Gauss— son manifestaciones del mismo principio: la integral de una derivada sobre un dominio equivale a la integral de la función original sobre el borde de ese dominio. Esta unificación es la médula de la física matemática moderna.
Green (Cálculo II, 2D): integral de línea cerrada = integral doble del rotacional. Stokes (Cálculo II, 3D): circulación sobre el borde de una superficie = flujo del rotacional. Gauss (Cálculo II, 3D): flujo saliente de superficie cerrada = integral de la divergencia. Los tres son casos del Teorema de Stokes generalizado en el lenguaje de formas diferenciales.
4.1 Integrales de línea y campos conservativos en Cálculo II
La integral de línea de un campo vectorial $\vec{F}$ a lo largo de una curva orientada $C$ mide el trabajo realizado por $\vec{F}$ al desplazar una partícula por $C$:
Un campo vectorial $\vec{F}$ es conservativo si existe una función potencial $\phi$ tal que $\vec{F}=\nabla\phi$. En ese caso la integral de línea solo depende de los extremos, no de la trayectoria: $\int_C\vec{F}\cdot d\vec{r}=\phi(B)-\phi(A)$. Para detectar si un campo es conservativo, calcula el rotacional: si $\nabla\times\vec{F}=\mathbf{0}$ en un dominio simplemente conexo, el campo es conservativo.
| Propiedad | Campo conservativo en Cálculo II | Campo no conservativo |
|---|---|---|
| $\oint_C\vec{F}\cdot d\vec{r}$ | = 0 siempre | ≠ 0 en general |
| Independencia del camino | Sí | No |
| Función potencial $\phi$ | Existe: $\vec{F}=\nabla\phi$ | No existe |
| $\nabla\times\vec{F}$ | $=\mathbf{0}$ | $\neq\mathbf{0}$ en general |
4.2 Teorema de Green en Cálculo II
El Teorema de Green conecta la integral de línea sobre una curva cerrada plana $C$ con la integral doble sobre la región $D$ que encierra:
$$\oint_C(P\,dx+Q\,dy)=\iint_D\!\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\!dA$$
Orientación positiva en el temario: $C$ recorrida en sentido antihorario, dejando $D$ a la izquierda.
Aplicación directa de Green en el temario: el área de $D$ se calcula mediante integrales de línea sin necesidad de integrar doble: $A=\frac{1}{2}\oint_C(x\,dy-y\,dx)$. Esta fórmula es la base del planimetro mecánico, dispositivo que calcula áreas trazando su contorno, y tiene aplicaciones en GIS y diseño asistido por computador.
4.3 Integrales de superficie en Cálculo II
La integral de superficie $\iint_S\vec{F}\cdot d\vec{S}$ mide el flujo neto del campo $\vec{F}$ a través de la superficie orientada $S$. Si $S$ se parametriza como $\mathbf{r}(u,v)$, el vector elemento de área es:
El flujo electromagnético $\Phi_E=\iint_S\vec{E}\cdot d\vec{S}$ y el flujo magnético $\Phi_B=\iint_S\vec{B}\cdot d\vec{S}$ son integrales de superficie directas. Su cálculo eficiente requiere elegir la parametrización correcta de $S$ y conocer el Jacobiano del cambio de variable.
4.4 Teorema de Stokes en Cálculo II
El Teorema de Stokes es la generalización tridimensional del Teorema de Green: relaciona la circulación de $\vec{F}$ a lo largo del borde orientado $\partial S$ de una superficie con el flujo del rotacional $\nabla\times\vec{F}$ a través de $S$:
$$\oint_{\partial S}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_S(\nabla\times\vec{F})\cdot d\vec{S}$$
Condición en el temario: $S$ superficie orientable suave con borde $\partial S$ orientado de forma consistente (regla de la mano derecha respecto a la normal de $S$).
Este resultado tiene consecuencias inmediatas en electromagnetismo: la Ley de Faraday $\oint_C\vec{E}\cdot d\vec{l}=-\frac{d}{dt}\iint_S\vec{B}\cdot d\vec{S}$ es exactamente el Teorema de Stokes de el análisis multivariable aplicado al campo eléctrico inducido. También permite simplificar el cálculo de integrales de línea complicadas sustituyéndolas por integrales de superficie más manejables.
4.5 Teorema de la Divergencia (Gauss) en Cálculo II
El Teorema de la Divergencia —o Teorema de Gauss— completa la trinidad vectorial: relaciona el flujo neto saliente de $\vec{F}$ a través de una superficie cerrada $\partial E$ con la integral de la divergencia en el volumen encerrado $E$:
$$\oiint_{\partial E}\vec{F}\cdot d\vec{S}=\iiint_E\nabla\cdot\vec{F}\;dV$$
La divergencia $\nabla\cdot\vec{F}=\partial F_x/\partial x+\partial F_y/\partial y+\partial F_z/\partial z$ mide la densidad de fuentes (positiva) o sumideros (negativa) del campo en cada punto.
La Ley de Gauss del electromagnetismo $\oiint_{\partial E}\vec{E}\cdot d\vec{S}=Q_\text{enc}/\varepsilon_0$ es una aplicación directa de este teorema: el flujo eléctrico total a través de una superficie cerrada solo depende de la carga encerrada, no de la forma de la superficie. Esto es consecuencia directa de que $\nabla\cdot\vec{E}=\rho/\varepsilon_0$ (primera ecuación de Maxwell).
Cálculo II — Stokes: la circulación de $\vec{F}$ a lo largo del borde orientado $\partial S$ (azul) equivale al flujo del rotacional $\nabla\times\vec{F}$ (violeta) a través de la superficie $S$. Los vectores normales verdes determinan la orientación positiva de $S$ y son consistentes con la dirección de recorrido de $\partial S$ por la regla de la mano derecha.
5. Visualización de Campos y Superficies con GeoGebra y Python en Cálculo II
La visualización computacional transforma la abstracción de Cálculo II en intuición geométrica. NumPy gestiona los arrays multidimensionales, Matplotlib renderiza superficies y campos en 3D, y SymPy realiza el cálculo simbólico exacto —derivadas parciales, gradientes, integrales dobles— que permite verificar resultados de examen de Cálculo II.
La combinación NumPy + Matplotlib + SymPy cubre el 90% de las necesidades computacionales del análisis multivariable en ingeniería. SymPy calcula gradientes y jacobianos de forma exacta; NumPy + SciPy resuelven integrales dobles y triples numéricamente; Matplotlib visualiza superficies, curvas de nivel y campos vectoriales en 3D. La guía satélite de graficación de superficies con GeoGebra y Python incluye animaciones interactivas de los teoremas vectoriales de esta asignatura.
5.1 Superficies 3D, curvas de nivel y campo gradiente en Cálculo II
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D # necesario para projection='3d'
import sympy as sp
# ═══════════════════════════════════════════════════════════════════
# Superficie paramétrica: silla de montar f(x,y) = x² − y²
# ═══════════════════════════════════════════════════════════════════
# ── 1. Definición simbólica (cálculo simbólico exacto con SymPy) ──────────
x_s, y_s = sp.symbols('x y')
f_sym = x_s**2 - y_s**2
# Derivadas parciales (análisis multivariable)
fx = sp.diff(f_sym, x_s) # → 2x
fy = sp.diff(f_sym, y_s) # → −2y
gradiente = sp.Matrix([fx, fy])
print(f"∇f = {gradiente.T}")
# Hessiana (análisis multivariable)
H = sp.hessian(f_sym, [x_s, y_s])
D = H.det()
print(f"det(H) = {D}") # D < 0 → punto de silla en el origen
# ── 2. Malla numérica ──────────────────────────────────────────────
x = np.linspace(-2.5, 2.5, 70)
y = np.linspace(-2.5, 2.5, 70)
X, Y = np.meshgrid(x, y)
Z = X**2 - Y**2
fig = plt.figure(figsize=(15, 5), facecolor='#0d1117')
# ── Subplot 1: Superficie 3D ───────────────────────────────────────
ax1 = fig.add_subplot(131, projection='3d')
ax1.set_facecolor('#111827')
ax1.plot_surface(X, Y, Z, cmap='RdBu_r', alpha=0.88,
linewidth=0, antialiased=True, rcount=60, ccount=60)
ax1.set_title('Silla de montar: f = x²−y²\n(análisis multivariable)', color='#e2e8f0', pad=8)
for ax in [ax1.xaxis, ax1.yaxis, ax1.zaxis]:
ax.pane.fill = False
ax.pane.set_edgecolor('#1e2d45')
ax1.tick_params(colors='#64748b', labelsize=7)
# ── Subplot 2: Curvas de nivel (análisis multivariable) ────────────────────────
ax2 = fig.add_subplot(132)
ax2.set_facecolor('#111827')
levels = np.linspace(-5, 5, 25)
cf = ax2.contourf(X, Y, Z, levels=levels, cmap='RdBu_r', alpha=0.85)
ax2.contour(X, Y, Z, levels=levels, colors='white', alpha=0.25, linewidths=0.5)
ax2.set_title('Curvas de nivel', color='#e2e8f0', fontsize=9)
ax2.tick_params(colors='#64748b')
# ── Subplot 3: Campo gradiente ∇f (análisis multivariable) ────────────────────
ax3 = fig.add_subplot(133)
ax3.set_facecolor('#111827')
Xg, Yg = np.meshgrid(np.linspace(-2.5, 2.5, 14), np.linspace(-2.5, 2.5, 14))
Gx, Gy = 2*Xg, -2*Yg # ∂f/∂x = 2x, ∂f/∂y = −2y
norm = np.sqrt(Gx**2 + Gy**2) + 1e-12
ax3.quiver(Xg, Yg, Gx/norm, Gy/norm,
color='#3b82f6', alpha=0.85, scale=20, headwidth=3.5)
ax3.contour(X, Y, Z, levels=12, colors='#06b6d4', alpha=0.4, linewidths=0.7)
ax3.set_title('Campo gradiente ∇f', color='#e2e8f0', fontsize=9)
ax3.tick_params(colors='#64748b')
plt.tight_layout(pad=1.2)
plt.savefig('calculo2_gradiente.png', dpi=150,
bbox_inches='tight', facecolor='#0d1117')5.2 Integral doble numérica y verificación de el análisis multivariable con SciPy + SymPy
import numpy as np
from scipy import integrate
import sympy as sp
# ═══════════════════════════════════════════════════════════════════
# Integral doble: ∬_D exp(−x²−y²) dA, D = disco r ≤ 2
# Exacto en el análisis multivariable (cambio a polares): π(1 − e^−4)
# ═══════════════════════════════════════════════════════════════════
R = 2.0
# ── Método numérico (SciPy dblquad) ───────────────────────────────
integrand = lambda y, x: np.exp(-x**2 - y**2)
y_lo = lambda x: -np.sqrt(max(R**2 - x**2, 0.0))
y_hi = lambda x: np.sqrt(max(R**2 - x**2, 0.0))
num, err = integrate.dblquad(integrand, -R, R, y_lo, y_hi,
epsabs=1e-10, epsrel=1e-10)
# ── Método exacto en el análisis multivariable (SymPy, coord. polares) ───────────
r, theta = sp.symbols('r theta', positive=True)
exacto = float(sp.integrate(
sp.integrate(sp.exp(-r**2) * r, (r, 0, R)),
(theta, 0, 2*sp.pi)
))
print("═══ Integral doble ═══")
print(f" Numérico (SciPy): {num:.10f}")
print(f" Exacto (análisis multivariable): {exacto:.10f} = π(1−e⁻⁴)")
print(f" Error absoluto: {abs(num - exacto):.2e}")
# ═══════════════════════════════════════════════════════════════════
# Rotacional y divergencia con SymPy
# Campo F = (−y, x, z²)
# ═══════════════════════════════════════════════════════════════════
x_s, y_s, z_s = sp.symbols('x y z')
Fx, Fy, Fz = -y_s, x_s, z_s**2
rot_x = sp.diff(Fz, y_s) - sp.diff(Fy, z_s)
rot_y = sp.diff(Fx, z_s) - sp.diff(Fz, x_s)
rot_z = sp.diff(Fy, x_s) - sp.diff(Fx, y_s)
div_F = sp.diff(Fx, x_s) + sp.diff(Fy, y_s) + sp.diff(Fz, z_s)
print("\n═══ el análisis multivariable — F = (−y, x, z²) ═══")
print(f" Rotacional ∇×F = ({rot_x}, {rot_y}, {rot_z})") # (0, 0, 2)
print(f" Divergencia ∇·F = {div_F}") # 2z
# ═══════════════════════════════════════════════════════════════════
# Verificación numérica del Teorema de Stokes
# F = (−y, x, z²); S: paraboloide z = 4−x²−y² sobre x²+y² ≤ 4
# Borde C: x²+y²=4, z=0 → ∮_C F·dr = 8π
# ═══════════════════════════════════════════════════════════════════
N = 2000
t = np.linspace(0, 2*np.pi, N)
xc, yc, zc = R*np.cos(t), R*np.sin(t), np.zeros(N)
Fxc, Fyc, Fzc = -yc, xc, zc**2
# Trapecio para la integral de línea
linea = np.trapz(Fxc*np.gradient(xc,t) + Fyc*np.gradient(yc,t) + Fzc*np.gradient(zc,t), t)
stokes_exacto = 2 * np.pi * R**2 # ∬ rotacional_z dA = 2·π·R²
print("\n═══ Verificación del Teorema de Stokes ═══")
print(f" Integral de línea: {linea:.6f}")
print(f" Flujo rotacional: {stokes_exacto:.6f}")
print(f" Error relativo: {abs(linea-stokes_exacto)/stokes_exacto*100:.4f}%")5.3 Visualización 3D del Teorema de Gauss en Cálculo II
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
# ═══════════════════════════════════════════════════════════════════
# Teorema de Gauss: F = (x, y, z), div F = 3
# ∬_S F·dS = ∭_V 3 dV = 3 · (4/3)π R³ para la esfera de radio R
# ═══════════════════════════════════════════════════════════════════
R_esf = 2.0
flujo_gauss_exacto = 3 * (4/3) * np.pi * R_esf**3
# ── Flujo numérico: muestreo de puntos en la esfera ───────────────
N_phi, N_theta = 120, 240
phi = np.linspace(0, np.pi, N_phi)
theta = np.linspace(0, 2*np.pi, N_theta)
Phi, Theta = np.meshgrid(phi, theta)
# Puntos en la esfera (Cálculo II — coord. esféricas)
Xs = R_esf * np.sin(Phi) * np.cos(Theta)
Ys = R_esf * np.sin(Phi) * np.sin(Theta)
Zs = R_esf * np.cos(Phi)
# Normal exterior n̂ · dS = r² sin(φ) dφ dθ (Jacobiano esférico de Cálculo II)
Nx, Ny, Nz = Xs, Ys, Zs # F = (x,y,z) = r·r̂, n̂ = r̂
F_dot_n = (Xs*Nx + Ys*Ny + Zs*Nz) / R_esf # = R en la esfera
dphi = np.pi / (N_phi - 1)
dtheta = 2 * np.pi / (N_theta - 1)
flujo_num = np.sum(F_dot_n * R_esf**2 * np.sin(Phi)) * dphi * dtheta
print("═══ Teorema de la Divergencia (Gauss) ═══")
print(f" Flujo exacto: {flujo_gauss_exacto:.6f}")
print(f" Flujo numérico: {flujo_num:.6f}")
print(f" Error relativo: {abs(flujo_num-flujo_gauss_exacto)/flujo_gauss_exacto*100:.4f}%")
# ── Visualización en 3D ───────────────────────────────────────────
fig = plt.figure(figsize=(8, 7), facecolor='#0d1117')
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
ax.set_facecolor('#111827')
surf_color = (F_dot_n - F_dot_n.min()) / (F_dot_n.max() - F_dot_n.min())
ax.plot_surface(Xs, Ys, Zs, facecolors=plt.cm.plasma(surf_color),
alpha=0.82, linewidth=0)
ax.set_title(f'Gauss: flujo = {flujo_num:.3f}\n(exacto = 4πR³ = {flujo_gauss_exacto:.3f})',
color='#e2e8f0', pad=10)
for spine in [ax.xaxis, ax.yaxis, ax.zaxis]:
spine.pane.fill = False; spine.pane.set_edgecolor('#1e2d45')
ax.tick_params(colors='#64748b', labelsize=7)
plt.tight_layout()
plt.savefig('calculo2_gauss.png', dpi=150, bbox_inches='tight', facecolor='#0d1117')6. Preguntas Frecuentes de Cálculo II
Las siguientes preguntas recogen las dudas más repetidas en los foros de ingeniería sobre esta asignatura. Las respuestas están diseñadas para funcionar como respuestas autónomas en búsquedas conversacionales sobre esta asignatura.
Aplica coordenadas polares cuando el límite se plantea en el origen $(0,0)$ y la función depende de $r=\sqrt{x^2+y^2}$. Sustituye $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ y toma $r\to 0^+$. Si el resultado es independiente de $\theta$, el límite existe y vale ese valor. Si depende de $\theta$, el límite no existe porque diferentes direcciones dan valores diferentes. Este enfoque es más eficiente que buscar dos trayectorias cuando la función tiene simetría radial evidente.
El Teorema de Stokes establece que la circulación total de un campo $\vec{F}$ alrededor del borde $\partial S$ de una superficie es igual al flujo de su rotacional $\nabla\times\vec{F}$ a través de $S$. Físicamente: si imaginas el campo como la velocidad de un fluido, el Teorema de Stokes afirma que la circulación (tendencia rotacional global) en el borde se debe exactamente a la rotación local del fluido en el interior. En electromagnetismo, la Ley de Faraday $\oint\vec{E}\cdot d\vec{l}=-d\Phi_B/dt$ es Stokes de el análisis multivariable aplicado al campo eléctrico.
El orden estándar de integración es $\int_0^{2\pi}\int_{r_1}^{r_2}\int_{z_1(r)}^{z_2(r)} r\;dz\,dr\,d\theta$. El algoritmo: (1) proyecta el sólido sobre el plano $xy$ para identificar los límites de $r$ y $\theta$; (2) expresa las superficies superior e inferior en términos de $z=f(r,\theta)$; (3) si el sólido tiene simetría azimutal completa, el integral en $\theta$ va de $0$ a $2\pi$; (4) multiplica siempre por el Jacobiano $r$ — este es el error más común en examen: olvidar el factor $r$ del cambio de variable.
Para verificarlo, calcula el rotacional $\nabla\times\vec{F}$. Si es el vector nulo y el dominio es simplemente conexo (sin agujeros), el campo es conservativo y existe función potencial $\phi$ con $\vec{F}=\nabla\phi$. Para hallar $\phi$: integra $F_x$ respecto a $x$ obteniendo $\phi(x,y,z)$; diferencia respecto a $y$ e iguala a $F_y$ para determinar la función de integración; repite con $z$. Este procedimiento es análogo a calcular primitivas en una variable pero ahora con condiciones de compatibilidad cruzadas.
Invierte el orden cuando la integral interior produce una primitiva que no tiene expresión en términos de funciones elementales. Ejemplo clásico de el temario: $\int_0^1\int_x^1 e^{y^2}\,dy\,dx$. Integrar $e^{y^2}$ respecto a $y$ es imposible en términos elementales; invirtiendo el orden se obtiene $\int_0^1\int_0^y e^{y^2}\,dx\,dy=\int_0^1 y\,e^{y^2}\,dy=(e-1)/2$. La inversión requiere redibujar la región: identifica los límites del triángulo $0\le x\le y\le 1$ y describe las bandas horizontales en lugar de las verticales.
Los tres son casos particulares del Teorema de Stokes generalizado. Green opera en 2D: relaciona una integral de línea 1D (curva cerrada) con una integral doble 2D mediante la diferencia de derivadas parciales. Stokes opera en 3D: relaciona una integral de línea 1D (borde de superficie) con una integral de superficie 2D mediante el rotacional. Gauss opera en 3D: relaciona una integral de superficie 2D (superficie cerrada) con una integral de volumen 3D mediante la divergencia. Recuerda: Green↑1D, Stokes↑2D, Gauss↑3D, todos dicen lo mismo: "la integral de una derivada sobre el interior es la integral de la función sobre el borde".
Glosario técnico de Cálculo II
- Jacobiano
- Determinante de la matriz de derivadas parciales del cambio de variable $T:(u,v)\to(x,y)$ para integrales múltiples. Mide cómo escala el área: $dA=|J|\,du\,dv$. En 3D, mide cómo escala el volumen: $dV=|J|\,du\,dv\,dw$.
- Matriz Hessiana
- Matriz cuadrada de las segundas derivadas parciales de $f$. $H_{ij}=\partial^2 f/\partial x_i\partial x_j$. Su determinante clasifica los puntos críticos: $D>0\Rightarrow$ extremo; $D<0\Rightarrow$ punto de silla.
- Campo Solenoidal
- Campo vectorial con divergencia nula en el cálculo vectorial: $\nabla\cdot\vec{F}=0$. Las líneas de campo son cerradas o van al infinito sin nacer ni morir. Ejemplo físico: campo magnético $\vec{B}$ (no existen monopolos magnéticos).
- Rotacional
- $\nabla\times\vec{F}$: vector que mide la rotación local del campo $\vec{F}$. Si es nulo en un dominio simplemente conexo, el campo es irrotacional y conservativo. Unidades: [campo]/[longitud].
- Divergencia
- $\nabla\cdot\vec{F}=\partial F_x/\partial x+\partial F_y/\partial y+\partial F_z/\partial z$. Densidad de flujo neto saliente por unidad de volumen. Positiva: fuente; negativa: sumidero; cero: campo solenoidal.
- Multiplicador de Lagrange
- Escalar $\lambda$ tal que $\nabla f=\lambda\nabla g$ en el óptimo condicionado. Mide la sensibilidad del valor óptimo ante variaciones de la restricción (precio sombra en economía).
- Diferencial total
- $df=f_x\,dx+f_y\,dy+f_z\,dz$. Aproximación lineal del incremento de $f$. Fundamento del plano tangente y de la propagación de errores: $\Delta f\approx df$.
- Dominio simplemente conexo
- Dominio sin agujeros, donde toda curva cerrada puede contraerse a un punto. Condición necesaria para que $\nabla\times\vec{F}=\mathbf{0}$ implique que $\vec{F}$ es conservativo.
Bibliografía de autoridad y recursos externos para Cálculo II
Ecosistema de asignaturas — continúa más allá de Cálculo II
- Cálculo I para Ingeniería
- Álgebra Lineal
- Ecuaciones Diferenciales
- Física I — Guía maestra
- Electromagnetismo
- Mecánica de Fluidos
Esta guía fue preparada y verificada el 25 de mayo de 2026. Los bloques de código Python han sido probados con NumPy 2.0, SciPy 1.14 y SymPy 1.13. Los cinco simuladores interactivos funcionan sin dependencias externas, solo HTML5 Canvas nativo.