1. Electrostática, Ley de Gauss y Propiedades de los Dieléctricos en Física II

1.1 Campo eléctrico y Ley de Coulomb

El campo eléctrico es el concepto operacional central de esta asignatura. Para una carga puntual $Q$, el campo eléctrico en un punto separado una distancia $r$ vale:

En Física II se trabaja constantemente con distribuciones continuas de carga. Para una distribución volumétrica $\rho(\vec{r}’)$, el campo en el punto $\vec{r}$ se obtiene integrando:

1.2 Ley de Gauss: la herramienta más eficaz de esta asignatura

La Ley de Gauss es probablemente el resultado más potente de la primera parte de Física II. Establece que el flujo neto del campo eléctrico a través de cualquier superficie cerrada es proporcional a la carga encerrada:

La clave en Física II es elegir la superficie gaussiana correcta aprovechando la simetría del problema. El proceso tiene cuatro pasos que conviene automatizar para el examen.

1.3 Potencial eléctrico y capacitores en Física II

El potencial eléctrico $V$ es un escalar cuyo gradiente negativo recupera el campo: $\vec{E} = -\nabla V$. En esta asignatura el potencial simplifica problemas que serían complicados trabajando directamente con vectores. Para una carga puntual $Q$:

Los capacitores y dieléctricos aplican directamente este bloque. La capacidad se define como $C = Q/V$ y para un condensador plano vale $C = \varepsilon_0 A/d$.

1.4 Dieléctricos y polarización

Introducir un dieléctrico de constante relativa $\kappa = \varepsilon_r$ entre las placas reduce el campo en el interior al valor $E = E_0/\kappa$ y aumenta la capacidad a $C = \kappa C_0$. La polarización $\vec{P}$ mide el dipolo eléctrico por unidad de volumen y se relaciona con el campo mediante la susceptibilidad eléctrica $\chi_e$:

2. Electrodinámica: Corriente Continua, Leyes de Kirchhoff y Redes de Conductores

2.1 Densidad de corriente y Ley de Ohm microscópica

En Física II la corriente no es un concepto de «fontanería»: tiene su base en el movimiento de portadores de carga. La densidad de corriente $\vec{J}$ en A/m² es la magnitud fundamental, y la corriente continua macroscópica $I$ es simplemente el flujo de $\vec{J}$ a través de una sección transversal:

Aquí $\sigma$ es la conductividad eléctrica del material (en S/m), $\rho_R$ la resistividad (en Ω·m), $L$ la longitud del conductor y $A$ su sección transversal. Esta visión microscópica explica por qué los metales conductores tienen $\sigma$ muy alto: los electrones libres pueden desplazarse con poco campo aplicado.

2.2 Leyes de Kirchhoff en Física II: mallas y nodos

Los circuitos de corriente continua con múltiples ramas requieren un método sistemático. Las Leyes de Kirchhoff proporcionan el álgebra lineal que permite resolver cualquier red:

3. Magnetostática, Ley de Ampère e Inducción Electromagnética

3.1 Fuerza de Lorentz y Ley de Biot-Savart

La fuerza que ejerce el campo electromagnético sobre una partícula de carga $q$ y velocidad $\vec{v}$ es la fuerza de Lorentz, uno de los resultados centrales de Física II:

Para calcular el campo magnético generado por un elemento diferencial de corriente, esta asignatura usa la Ley de Biot-Savart:

Para un hilo recto de longitud finita o para una espira circular, esta integral tiene solución analítica cerrada. En Física II estos casos son ejercicios tipo.

3.2 Ley de Ampère en Física II

Análoga a la Ley de Gauss para el campo eléctrico, la Ley de Ampère relaciona la circulación de $\vec{B}$ con la corriente encerrada. Es la herramienta más eficaz de Física II para geometrías simétricas:

Aplicaciones directas: campo de un solenoide ($B = \mu_0 n I$), cable coaxial, toroide. En todos los casos, la clave está en identificar la simetría y elegir el camino amperiano adecuado.

3.3 Inducción de Faraday-Lenz y autoinducción

La ley de Faraday-Lenz es el puente entre el campo magnético variable y la generación de campos eléctricos inducidos. Es el principio de funcionamiento de transformadores, generadores y motores, y su dominio es imprescindible en Física II:

El signo negativo es la Ley de Lenz: la fem inducida siempre crea una corriente que se opone al cambio de flujo que la origina. En este bloque físico, no se puede predecir la dirección de la corriente inducida sin aplicar correctamente la Ley de Lenz.

La autoinducción aparece cuando una bobina con $N$ vueltas reacciona a su propio cambio de corriente. El coeficiente de autoinducción $L$ (en henrios) satisface $\mathcal{E}_L = -L\,dI/dt$ y almacena energía $U = \tfrac{1}{2}LI^2$.

4. Ecuaciones de Maxwell, Ondas Electromagnéticas y Óptica Aplicada

4.1 Las cuatro ecuaciones de Maxwell

El pilar unificado de Física II son las cuatro ecuaciones de Maxwell, que recogen en forma compacta toda la electrodinámica clásica. Su forma integral y diferencial son equivalentes por el teorema de Gauss y el de Stokes:

4.2 Ondas electromagnéticas y vector de Poynting

Combinando las ecuaciones III y IV de Maxwell en el vacío ($\vec{J}=0$, $\rho=0$) se obtiene la ecuación de onda vectorial para $\vec{E}$ y $\vec{B}$:

La solución monodireccional en la dirección $\hat{z}$ de esta asignatura tiene la forma de onda plana:

El flujo de energía de la onda se describe mediante el vector de Poynting, central en las aplicaciones de ingeniería de Física II:

4.3 Óptica geométrica y ondulatoria

La óptica geométrica estudia la propagación de la luz cuando $\lambda \ll$ dimensiones del sistema. Los resultados fundamentales de este bloque de Física II son la ley de reflexión y la ley de Snell:

La óptica ondulatoria estudia interferencia y difracción, fenómenos que solo tienen explicación con el carácter ondulatorio de la luz. La condición de interferencia para una doble rendija (Young) en esta asignatura es:

5. Simulación Computacional de Campos Vectoriales con Python

La simulación de Física con Python complementa perfectamente el estudio analítico de Física II. El siguiente script calcula el campo eléctrico creado por un dipolo (dos cargas iguales y opuestas separadas una distancia $2d$) y dibuja las líneas de campo y el mapa de equipotenciales:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# ══════════════════════════════════════════
# Física II — Dipolo eléctrico: líneas de campo
# NumPy + Matplotlib
# ══════════════════════════════════════════

# Constante y cargas
k  = 8.99e9       # N·m²/C²
q  = 1e-9         # C (1 nC)
d  = 0.05         # m (separación media = 5 cm)

# Grid de evaluación
x = np.linspace(-0.15, 0.15, 400)
y = np.linspace(-0.15, 0.15, 400)
X, Y = np.meshgrid(x, y)

# Posición de las cargas
r_plus  = np.array([ d, 0.0])  # carga +q
r_minus = np.array([-d, 0.0])  # carga -q

def campo_carga(Q, r0, X, Y):
    """Campo eléctrico de una carga puntual Q en r0."""
    dx = X - r0[0]
    dy = Y - r0[1]
    r3 = (dx**2 + dy**2)**1.5
    r3 = np.where(r3 < 1e-18, 1e-18, r3)  # evitar singularidad
    Ex = k * Q * dx / r3
    Ey = k * Q * dy / r3
    return Ex, Ey

# Superposición de campos (principio de superposición)
Ex1, Ey1 = campo_carga( q, r_plus,  X, Y)
Ex2, Ey2 = campo_carga(-q, r_minus, X, Y)
Ex = Ex1 + Ex2
Ey = Ey1 + Ey2
E_mag = np.sqrt(Ex**2 + Ey**2)

# Potencial eléctrico (para equipotenciales)
def potencial(Q, r0, X, Y):
    dx, dy = X - r0[0], Y - r0[1]
    r = np.sqrt(dx**2 + dy**2)
    r = np.where(r < 1e-9, 1e-9, r)
    return k * Q / r

V = potencial(q, r_plus, X, Y) + potencial(-q, r_minus, X, Y)

# ══ Visualización ══
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 7), facecolor='#0d1117')
ax.set_facecolor('#111827')

# Equipotenciales
levels = np.linspace(-500, 500, 40)
cs = ax.contour(X, Y, np.clip(V, -500, 500),
                levels=levels, cmap='RdBu', linewidths=0.7, alpha=0.6)

# Líneas de campo (streamplot)
speed = np.log(E_mag + 1)
ax.streamplot(X, Y, Ex, Ey,
              color=speed, cmap='cool',
              linewidth=1.5, density=1.8,
              arrowsize=1.2, arrowstyle='->')

# Cargas
ax.plot(*r_plus,  'o', color='#f59e0b', ms=14, zorder=5)
ax.plot(*r_minus, 'o', color='#3b82f6', ms=14, zorder=5)
ax.text(r_plus[0],  0.012, '+q', ha='center', color='#f59e0b',
        fontsize=11, fontfamily='monospace')
ax.text(r_minus[0], 0.012, '−q', ha='center', color='#3b82f6',
        fontsize=11, fontfamily='monospace')

# Estilo oscuro
for spine in ax.spines.values():
    spine.set_color('#1e2d45')
ax.tick_params(colors='#64748b')
ax.set_xlabel('x (m)', color='#94a3b8', fontsize=11)
ax.set_ylabel('y (m)', color='#94a3b8', fontsize=11)
ax.set_title('Dipolo eléctrico — Física II: campo $\\vec{E}$ y equipotenciales',
             color='#e2e8f0', fontsize=12, pad=12)
ax.set_xlim(-0.15, 0.15)
ax.set_ylim(-0.15, 0.15)
ax.set_aspect('equal')

plt.tight_layout()
plt.savefig('dipolo_electrico.png', dpi=150, bbox_inches='tight',
            facecolor='#0d1117')
plt.show()

6. Preguntas Frecuentes de Física II para Ingenieros

6.1 Glosario técnico de Física II

Permitividad ($\varepsilon_0$)

Constante del vacío que aparece en la Ley de Coulomb y Gauss. $\varepsilon_0 = 8{,}854\times10^{-12}$ F/m. Mide la capacidad del vacío de «almacenar» campo eléctrico.

Permeabilidad ($\mu_0$)

Constante magnética del vacío. $\mu_0 = 4\pi\times10^{-7}$ T·m/A. Aparece en la Ley de Biot-Savart y Ampère y determina la velocidad de la luz junto con $\varepsilon_0$.

Vector de Poynting ($\vec{S}$)

$\vec{S} = \frac{1}{\mu_0}\vec{E}\times\vec{B}$ (W/m²). Describe la dirección y densidad de flujo de energía electromagnética. Esencial para entender la propagación de ondas en Física II.

Corriente de desplazamiento ($J_d$)

Término $\varepsilon_0\,\partial\vec{E}/\partial t$ añadido por Maxwell a la Ley de Ampère. Permite que exista campo magnético rotacional incluso sin corriente de conducción.

Autoinducción ($L$)

Coeficiente que relaciona el flujo magnético propio con la corriente: $\Phi = LI$. La bobina induce $\mathcal{E}_L = -L\,dI/dt$ cuando varía su corriente. Unidades: henrios (H).

Polarización ($\vec{P}$)

Momento dipolar eléctrico por unidad de volumen en un dieléctrico. $\vec{P} = \varepsilon_0\chi_e\vec{E}$. Responsable de la reducción del campo eléctrico dentro del material.

6.2 Bibliografía y recursos de autoridad

6.3 Módulos satélite de Física II

Conclusión: Física II como arquitectura del ingeniero moderno

Física II no es una asignatura de fórmulas aisladas: es el marco unificado del electromagnetismo. Has recorrido electrostática con la Ley de Gauss, los circuitos con Kirchhoff, el campo magnético con Biot-Savart y Ampère, la inducción de Faraday-Lenz, las cuatro ecuaciones de Maxwell, la propagación de ondas electromagnéticas y los fundamentos de óptica geométrica y ondulatoria.

El siguiente paso es convertir cada bloque en procedimiento automático: ante cada tipo de problema de esta asignatura, identificar la simetría, elegir la ley correcta y ejecutar el álgebra sin errores de signo. La simulación en Python es el complemento ideal para verificar resultados y desarrollar intuición sobre los campos vectoriales.

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• Guía de Física I
• Cálculo I
• Cálculo II
• Álgebra Lineal
• Ecuaciones Diferenciales